HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng mà các em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài tập về căn thức cũng hay xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Hệ phương trình chứa căn thức

Có các dạng bài bác tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong nội dung bài viết này chúng ta tập trung mày mò cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một vài bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện khả năng giải toán.

I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ lúc giải phương trình cất dấu căn

• 

• 

• 

• 

• 

 với e ≥ 0 là hằng số

i) ngôi trường hợp: 

 hoặc  thì:

+ bước 1: Tìm đk của x để f(x) ≥ 0

+ cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ bước 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện

* lấy ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta tất cả (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước lúc bình phương 2 vế):

 

 

 

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt bao gồm nghiệm x = 50.

d) (*)

- bởi (1 - x)2 ≥ 0 ∀x nên pt khẳng định với phần nhiều giá trị của x.

 

→ Vậy phương trình gồm 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)  b) 

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

- khi đó bình phương 2 vế ta được:

 

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = một nửa không thỏa đk này, đề nghị ta KHÔNG nhận nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta yêu cầu kiểm tra biểu thức f(x).

+) trường hợp f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

+) Nếu  không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện công việc sau:

- cách 1: Điều khiếu nại f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn thức

- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng giải pháp phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* ví dụ 1: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 đề xuất ta có:

 

 

 

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta triển khai như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x buộc phải biểu thức xác minh với đầy đủ giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

* phương pháp giải:

- cách 1: Viết điều kiện của phương trình: 

- bước 2: dìm dạng từng loại tương xứng với những cách giải sau:

 ¤ loại 1: nếu như f(x) gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn mang đến phương trình trị tuyệt vời để giải.

 ¤ các loại 2: ví như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 3: nếu f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ các loại 4: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so với f(x) và g(x) thành nhân tử, giả dụ chúng bác ái tử bình thường thì để nhân tử chung mang lại phương trình tích.

- bước 3: kiểm tra nghiệm kiếm được có thỏa mãn điều kiện không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* lấy ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

 

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

- Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Cách Chữa Nấm Da Đầu ? Làm Thế Nào Khi Bị Nấm Da Đầu

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình tất cả nghiệm x = 2.

* ví dụ 4: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế phải là dạng hàm bậc 1) buộc phải để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

 khi kia ta bình phương 2 vế được:

- khám nghiệm x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức đk thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: 

 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- cách 1: Nếu f(x) cùng h(x) tất cả chứa căn thì bắt buộc có điều kiện biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức chuyển phương trình về dạng pt trị tốt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét vệt trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất (khử trị tuyệt đối) nhằm giải phương trình.

* lấy một ví dụ 1: Giải phương trình: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- phương diện khác, ta thấy: 

 và  nên ta có:

 

 (**)

- Ta xét những trường hợp để phá vệt trị hay đối:

+) TH1: Nếu 

, ta có:

 

⇒ Phương trình gồm vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- thừa nhận thấy: 

- Đến trên đây xét những trường phù hợp giải tương tự ví dụ 1 làm việc trên.

4. Giải pháp giải một trong những phương trình chứa căn khác.

i) cách thức đặt ẩn phụ để giải phương trình đựng dấu căn.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

 khi đó ta có pt (*) trở thành:

 

- cả hai nghiệm t đầy đủ thỏa điều kiện nên ta có:

 

 

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em đang học sinh hoạt nội dung bài chương sau).

* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

 Đặt 

, khi ấy pt(*) trở thành:

 

- Ta thấy pt(**) gồm dạng sinh sống mục 2) một số loại 3; với đk 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- cùng với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

→ Phương trình tất cả nghiệm x = 6.

* ví dụ 3: Giải phương trình sau:

 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Khi ấy ta có:

 Đặt 

 khi kia pt(**) trở thành:

 

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 các loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

- soát sổ thấy 2 nghiệm x bên trên thỏa đk nên pt bao gồm 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

ii) phương thức đánh giá biểu thức dưới vết căn (lớn rộng hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng với phương trình cất căn thức dạng: 

 (với c,d>0 cùng c+d=e)

- PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể bóc tách một thông số nào đó để có 2; 2 hay 2;