THỂ TÍCH BÁT DIỆN ĐỀU

hecap.org - Công thức tính thể tích của 5 khối đa diện đều - biên soạn thầy Đặng Thành Nam

Bài viết này chúng tôi trích lược lại bài giảng tính thể tích của 5 khối đa diện đều gồm: Tứ diện đều, hình lập phương, bát diện đều, hình 12 mặt đều, hình 20 mặt đều từ khoá học PRO X TOÁN 2018 tại hecap.org, các em tham khảo bài giảng và bài tập đi kèm tại link:http://hecap.org/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

*
1. Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a,$

Ta có $S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ và $h=AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$

*

2. Hình lập phương cạnh $a$.

Bạn đang xem: Thể tích bát diện đều

Khối lập phương có thể tích $V=a^3$.

3. Khối bát diện đều $ABCDEF$ cạnh $a$, ta có

${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$ và $EF=2EO=2\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{O}^{2}}}=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do đó $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.EF=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$

*

4. Khối 12 mặt đều cạnh $a$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh $A$ là $ABEFC,ACGHD,ABJID.$

Khi đó $A.BCD$ là chóp tam giác đều và $OA$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ tại tâm ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Theo định lí hàm số côsin ta có

\

Do đó $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}a \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a.$

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB,$ ta có hai tam giác vuông $AHB\backsim AMO,$ do đó $\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AH}\Rightarrow R=AO=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH}=\frac{{{a}^{2}}}{2.\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{3}}a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Ta có thể tích khối đa diện 12 mặt đều bằng tổng thể tích của 12 khối chóp ngũ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}-1}.$

Từ đó dễ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}(15+7\sqrt{5})}{4}.$

*

*Chú ý. Có thể tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đã cho (cũng chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCD$) bằng cách áp dụng công thức \

5. Khối đa diện đều 20 mặt đều cạnh $a,$ bằng cách thực hiện tương tự như khối đa diện 12 mặt đều ta có công thức xác định thể tích là $V=\dfrac{5(3+\sqrt{5}){{a}^{3}}}{12}.$

*Chú ý. Khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều chỉ để tham khảo; các em không nên sa đà vào các bài toán loại này.

*Khối 12 mặt đều hoặc 20 mặt đều việc xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hoặc thể tích các em chỉ tham khảo, không nên quan tâm đến các câu hỏi loại này trong đề thi vì nó không phù hợp.

Xem thêm: Mẹo Một Số Cách Mở Cửa Xe Ô Tô Từ Bên Trong, Cách Đóng Mở Cửa Xe Ô Tô Đúng Cách, An Toàn

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong góiCOMBO X 2020có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể muaCombogồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI hecap.org CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.