Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Các dạng toán phương trình lượng giác, phương thức giải và bài tập tự cơ phiên bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài xích tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp theo sau mà những em sẽ học trong công tác toán lớp 11.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương thức giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đồng thời vận dụng các cách thức giải này để làm các bài bác tập từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cấp về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 cung thỏa cosα = a, lúc ấy phương trình (2) có những nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: 

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và cách thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương xứng với mỗi phương trình.

* ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

* giải mã bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

 

b) 

 

 

c) 

 

 

 

d)

 

 

 

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

 

 

b) 

 

  

c) 

 

 

d) 

 

 

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

° Lời giải:

a)

 

 

 

+ Với 

  hoặc 

+ cùng với

  hoặc 

b) 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 

 

d)

 

 

 

 hoặc 

 

* giữ ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

 

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

 

 

 

 hoặc  với 

b)

 

 

 

 

 

 

 hoặc  với 

* lưu giữ ý: bài toán áp dụng công thức đổi khác tích thành tổng:

 

 

 

* lấy một ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

c)

 

 

 

  hoặc 

  hoặc 

 

 hoặc  hoặc 

 

 hoặc  hoặc  với 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 hoặc  hoặc 

* lưu ý: Bài toán bên trên có vận dụng công thức đổi khác tổng kết quả và công thức nhân đôi:

 

 

 

 

 

 

 

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

 

+ Với 

+ Với 

b)

 

 

 

 

 hoặc 

+ Với 

 

+ Với 

: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai tất cả một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu lại ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải bao gồm điều kiện: -1≤t≤1

* lấy ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

+ cùng với t=1/2: 

 

 

 hoặc 

b) 

 

+ Đặt 

 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

Xem thêm: 30+ Kiểu Tóc Ngắn Gợn Sóng Mái Thưa Ngắn & Dài Xu Hướng Hàn Quốc Cực Xinh

+ t = 3/2 >1 cần loại

+ 

 

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 không hẳn là nghiệm của phương trình bởi vì a≠0,

 Chia 2 vế mang đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 cùng với tanx)

 - trường hợp phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cố d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đem lại dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ giải pháp 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ biện pháp 2: Sử dụng phương pháp sinx và cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng thể của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

 khi đó:

  

+ Đặt 

 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

  

b) 

 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* giữ ý: bài xích toán áp dụng công thức:

 

 

 

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- giữ ý: 

 nên điều kiện của t là: 

- cho nên vì vậy sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) buộc phải kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không hẳn là PT dạng đối xứng nhưng mà cũng rất có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

 

 

 

+ Tương tự, với 

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

 

- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

 

 

+ với t=1 

 

 

 hoặc 

 hoặc 

+ Với 

: loại

III. Bài bác tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Với phần nhiều giá trị làm sao của x thì giá chỉ trị của các hàm số y = sin 3x cùng y = sin x bởi nhau?

° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

 

 

 

- Vậy với 

thì 

* bài xích 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

 c) 

 d) 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

 

- Kết luận: PT có nghiệm

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

d) 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

 

 hoặc 

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

 

 

 

+ Đến phía trên ta cần so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

 

 

 

 hoặc 

- Kết luận: PT bao gồm tập nghiệm 

* bài bác 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

.sin4x = 0

° giải thuật bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0